二元方程是包含兩個未知變量的方程。主要地分爲下面幾類： 1.丟番圖方程。例如x^2+y^2=25。這樣的方程的解固然有無窮多，但是丟番圖方程要求解必須是整數。這樣就限制了解的個數。例如這個方程，只有十二個解：一個是x=3,y=4，一個解是x=4,y=3，一個是x=3,y=-4,等等等等。丟番圖方程是一大類方程，也並不總是有解(例如x^2=-2)，詳細的定義可以參照“https://zh.wikipedia.org/wiki/丟番圖方程”裏面列出的參考文獻。 2.線性方程。例如x+y=25.這樣的方程有無窮多個解，它們平面線性座標系（例如直角座標系）下排成一條漂亮的直線。 3.線性方程組。例如x+y=25, x-y=1。這樣的，由兩個（或者更多個）線性方程放在一起的方程組通常有而且只有一組解。但是有時候這樣的方程組沒有解（例如x+y=1, x+y=2）有時候有無窮多個解（例如x+y=1,2x+2y=2, -x-y=-1）。研究這樣的線性方程組：M個未知數，N個方程，有多少解，解都是什麼，是線性代數學的核心問題之一。通過解決這樣的問題，人們找到了一系列精彩的理論，創造了廣泛的應用。線性代數通常是大學數學系一年級的必修課程。 4.一般的方程或者方程組。例如x+y^2=3, x^500+1/y- sin(x)=x*y。這樣的方程的重要性取決於它們的科學背景。它們大多數是沒有顯式解的，並且在大多數的時候研究他們的顯式解也是用處不大的。如果你修讀數學系的課程，你將學到一系列的工具去處理他們。例如研究近似求解的數值計算，級數，研究解是否存在的微積分，複變函數論，漸進分析，逼近論，抽象代數，等等。 --Guo Xin
本帖最後由 Mathematics tutor 1 於 2015-6-15 13:31 編輯 我想小學/初中同學最常遇到的二元方程點應該是「線性二元一次方程」，亦即是有x和y兩個未知數和兩條方程式(但不汲及x^2,y^2,.....)。其實早於中國南北朝的《孫子算經》就已有記載同樣原理的「雞兔同籠問題」，這裡我嘗試將問題簡化，再用三個不同方法教大家做： 「假設籠裡有雞和兔若干隻，雞兔共有9個頭、28隻腳。問雞和兔各有多少隻？」 方法一：設兩未知數 假設雞有x隻，兔有y隻，則根據題目可得 x+y=9 2x+4y=28 第二條方程式除以2可化為x+2y=14 用消元法減去第一條方程式可得y=5 x+y=9所以x=4 方法二：設一未知數 假設雞有x隻，則兔必有9-x隻，因為雞兔共有9頭 腳數=2x+4(9-x)=28 可求出x=4，因此雞有4隻，兔有9-4=5隻 方法三：極端法 假設全部9隻動物皆為為雞，則籠內只有9x2=18隻腳，比題目的28隻腳少了10隻 如果我們把一隻雞變為兔，則腳數會增加2(由2腳變4腳) 將10/2=5隻雞變為兔，就能增加10隻腳，令腳數變成18+10=28符合題目要求 因此答案為5隻兔，餘下4隻雞不變 ________________________ by Adam